Сказки и аудиосказки. а также загадки, притчи, советы родителям
Рубрики
- Воспитание детей (55)
- Воспитание детей раннего возраста (11)
- Ошибки воспитания (6)
- Ошибки родителей (4)
- Папа+Мама+Я=Семья (7)
- Правила для родителей (4)
- Про любовь (4)
- Читатель 21 века (8)
- Геометрия 7 класс (2)
- Задание № 1 (7)
- Задание № 3 (4)
- Задание № 4 (4)
- 23 февраля (1)
- 8 Марта (2)
- День Победы – 9 Мая (2)
- День числа Пи (1)
- Масленица (8)
- Аудио-притчи (28)
- Притчи о любви (4)
- Аудио-сказки Сергея Панчешного (6)
- Башкирские сказки (3)
- Белорусские сказки (2)
- Латышские сказки (3)
- Литовские сказки (1)
- Русские сказки (6)
- Сказки о животных и птицах (5)
- Сказки о природе (6)
- Сказки о растениях (2)
- Сказки Сергея Панчешного (14)
- Украинские сказки (8)
- Эстонские сказки (5)
- Японские сказки (1)
Архивы
| « Сен | ||||||
| 1 | 2 | 3 | ||||
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 |
| 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 |
| 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | |
Теоремы и определения по геометрии.
Как быстро и легко выучить теорему по математике. На примере теоремы Пифагора
Решение задач по геометрии 7 класс, объяснение тем, объяснение задач
В 7 классе ученики начинают изучать новый предмет — геометрию. До этого они уже знакомились с некоторыми геометрическими понятиями, но не так подробно. Чтобы в дальнейшем не возникали трудности с усвоением информации, следует с самого начала усвоить основные моменты: уметь различать типы фигур, знать основные их свойства, выучить теоремы, признаки фигур. В 7 классе изучаются простейшие объекты: точка, луч, отрезок, прямая и т.д. Кроме этого, в учебниках подробно рассматривается треугольник.
Основные темы по геометрии 7 класс
Ученику 7 класса предстоит познакомиться со следующими основными разделами учебника по геометрии:
Начальные сведения (об основных геометрических объектах).
О треугольниках: что это, какие бывают, как понять, равны ли два треугольника.
Отдельно о равнобедренном и прямоугольном треугольнике.
Геометрия 7 класс объяснение основных тем, понятно для детей
первые геометрические объекты
Начать стоит с самого понятия «геометрия». С древнегреческого слово переводится как земля и измерение. Эта древнейшая наука, которая появилась в связи с необходимостью строить здания, дороги, измерять объекты и прокладывать границы.
Первыми геометрическими фигурами, которые стоит усвоить, являются точка, прямая, отрезок.
Точка — это абстрактный объект в пространстве. Никаких измерительных характеристик она не имеет (но можно определить координаты).
Через две точки можно провести прямую линию (причем единственную); она не искривляется, не имеет конца и начала, продолжается до бесконечности.
Иными словами, прямая — это множество точек на одной линии, продолжающееся до бесконечности.
Запомните важную аксиому:
Если часть прямой линии ограничить точками, получится отрезок. У отрезка есть и начало, и конец. Обозначается он большими буквами (например, отрезок КL, SD, AB и т.д.).
Если две прямые пересекаются под углом 90º, то говорят, что они перпендикулярны.
Если прямую ограничить только одной точкой, то получится два луча. У луча есть начало, а конца нет (уходит в бесконечность). Называют луч двумя буквами, например, ОА.
Еще одна фигура — угол. Он представляет собой точку и два луча, исходящие из нее. Лучи — это стороны угла, а начало этих сторон — его вершина. От того, сколько градусов составляет угол, зависит тип треугольника, который можно образовать.
О равных треугольниках. Равнобедренный треугольник
Треугольником принято считать фигуру, которая состоит из 3-х точек. Причем точки эти не должны лежать на одной прямой, а соединяются они отрезками.
Сумма всех углов в треугольнике равняется 180º. Знание этого факта пригодится при решении задач на нахождение углов.
Треугольники можно различать по двум признакам: размеру сторон и размеру углов.
Если один треугольник (назовем его CFD) наложить на другой (C1F1D1) и они будут соответствовать друг другу, то треугольники равны. У равных фигур все элементы равны.
Чтобы понять, равны ли треугольники, познакомимся с признаками равенства этих фигур.
Остановимся отдельно на равнобедренных треугольниках. Если 2 стороны треугольники равны, то его называют равнобедренным.
На заметку! Если равны все стороны, а не только две, то треугольник уже равносторонний, а не равнобедренный.
Исходя из этого, можно выделить признаки равнобедренного треугольника. Треугольник равнобедренный, если:
- 2 угла в нем равны;
- биссектриса одновременно является высотой и медианой;
- медиана — биссектриса и высота;
- высота, соответственно — медиана и биссектриса.
Если взять треугольник неравнобедренный, то эти три составляющие (высота, биссектриса и медиана) не будут совпадать (это четко прослеживается на рисунке ниже).
параллельные прямые
Если на тетрадном листе кажется, что прямые параллельны, но имеется небольшой уклон, то вполне вероятно, что за пределами листа (ведь они бесконечны), прямые пересекутся.
Чтобы понять, параллельны ли прямые, нужно усвоить 3 основных признака.
Показать параллельность прямых а и б можно так: а ΙΙ б.
прямоугольный треугольник и его свойства
Прямоугольным называют треугольник, в котором один из углов равен 90º. Рассмотрим название сторон такой фигуры.
Геометрия 7 класс задача по теме треугольники, пояснение решения задач
Решим несколько задач про треугольники:
- нахождение периметра;
- доказательство равенства треугольников.
Чтобы найти периметр в представленной задаче, нашли сперва неизвестные стороны. Потом просто сложили полученные значения.
Для этой задачи понадобилось знание признаков равенства треугольников.
Для решения задачи понадобится знание признаков равнобедренного треугольника. Так, можно утверждать, что в треугольнике сторона АС и АВ равны, как и СМ и МВ. Поскольку периметр — это сумма всех сторон, получается, что сумму периметра АВМ можно записать сложением АВ, ВМ и АМ (ее как раз нужно найти).
Сумму периметра АВС также записали с помощью сложения сторон. Затем упростили это сложение, записав: 32 = 2 АВ + 2 ВМ (так как АВ и АС равны — равнобедренный треугольник; ВМ и СМ тоже равны). Потом эту запись сократили, разделив на 2.
Вышло, что сумма двух сторон равна 16 см. Остается найти третью сторону (АМ). Она входит в треугольник АВМ, периметр которого равен 24 см. Тогда, чтобы найти третью сторону (АМ, нужно просто 24 отнять 16, вышло 8 см. В примере подставили в уравнение, чтобы не запутаться.
Решим задачу на нахождение угла в треугольнике.
Чтобы найти угол С в задаче потребовалось узнать, чему равен угол В. По условиям известно, что внешний В равняется 110º. Знаем, что развернутый угол равняется 180º (это внешний и внутренний угол В в сумме). Поэтому от 180 отнимаем 110. Получается угол В = 70º.
Треугольник равнобедренный, значит углы при основании одинаковые ⇒ угол В = углу А = 70º.
Поскольку сумма углов треугольника равна 180º (по правилу), значит угол С = 180 — углы А и В = 180 — 70 — 70 = 40°.
Задачи на второй и третий признак равенства треугольников подробно представлено в видео-уроке.
Геометрия 7 класс тест по теме треугольник
Закрепим материал по треугольникам, решив несколько тестовых заданий.
- Как называется сумма всех сторон в треугольнике?
а) площадь;
б) периметр;
в) медиана
2. Треугольник называется равнобедренным, если:
а) у него есть основание;
б) все стороны равны;
в) две стороны равны
3. Если в равнобедренном треугольнике к основанию провести высоту, то чем еще она будет являться?
а) биссектрисой;
б) медианой;
в) медианой и биссектрисой;
г) только высотой
4. Сколько всего признаков равенства треугольников?
5. В треугольнике можно провести ___ медиан (-ы)
а) одну;
б) множество;
в) три;
г) две
6. Как называются стороны прямоугольного треугольника, которые образуют угол 90º?
а) гипотенузы;
б) катеты;
в) высоты
7. Про что гласит 3-й признак равенства треугольников?
а) про стороны;
б) про сторону и углы;
в) про угол и стороны
8. Под каким углом в любом треугольнике проходит высота?
а) это зависит от вида треугольника
б) под углом 45 градусов;
в) 90 градусов
9. По каким признакам различаются виды треугольников?
а) по размеру сторон;
б) по размеру углов;
в) по размеру сторон и углов;
г) по периметру и площади
10. Чему равна сумма двух острых углов прямоугольного треугольника?
а) 90 градусов;
б) 180 градусов;
в) 60 градусов
Ответы: 1 — б; 2 — в; 3 — в; 4 — б; 5 — в; 6 — б; 7 — а; 8 — в; 9 — в; 10 — а.
7 класс геометрия сложная тема, разъяснить подробно для детей
Решим более сложную задачу, где есть и доказательство равенства треугольников, и поиск углов. Алгоритм решения задачи:
Шаг 1. Начертим, согласно условиям. Дается треугольник АВС, в котором провели медиану (вспоминаем, что медиана делит сторону пополам). В нашей задаче медиана AD уходит за пределы треугольника, создавая дополнительный отрезок DE (он равен AD). Получился треугольник, из которого проведена медиана.
Шаг 2. Первая задача — доказать равенство треугольников ABD и ECD: соединим точку Е и С, чтобы получился треугольник.
Шаг 3. По условиям AD и DE равны (одна сторона треугольника равна другой стороне ⇒ AD = DE
Шаг 4. Получается BD = DC, так как медиана разделила BC пополам (выходит, еще одни стороны треугольников равны).
Шаг 5. Рассмотрим углы между сторонами (на рис. обозначены цифрами 1 и 2). Они вертикальные, так как образовались двумя прямыми. Следовательно, они равны.
Из первого признака равенства треугольников знаем, что если 2 стороны и угол между этими сторонами одного треугольника равен этим показателям во втором, то они равные. Пункт а доказан. Переходим к б.
Шаг 1. Нам нужно найти угол АСЕ. Из рисунка видно, что он состоит из 2-х маленьких углов, получается: угол АСЕ равен сумме углов DCA и DCE.
Шаг 2. По условиям мы знаем, чему равен DCA, осталось найти второй. Так как равенство треугольников доказали, значит воспользуемся правилом: напротив равных сторон треугольников лежат и равные углы. AD напротив ABD; DE напротив DCE. Выходит: угол ABD = углу DCE = 40 градусам (по условию).
Шаг 3. Маленькие углы известны, найдем тот, который требуется: угол ACE = 56º + 40º = 96º.
Равенство доказали, угол нашли. Задание выполнено.
Еще пара видеороликов про решение задачи с прямоугольным треугольником, а также вся геометрия за 7 класс в одной задаче.
Источник: luckclub.ru
Окружность. Основные теоремы
Подробнее
Подробнее
Подробнее
Определения
Центральный угол – это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности.
Градусная мера дуги окружности – это градусная мера центрального угла, который на неё опирается.
Теорема
Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
Доказательство
Доказательство проведём в два этапа: сначала докажем справедливость утверждения для случая, когда одна из сторон вписанного угла содержит диаметр. Пусть точка (B) – вершина вписанного угла (ABC) и (BC) – диаметр окружности:
Треугольник (AOB) – равнобедренный, (AO = OB) , (angle AOC) – внешний, тогда (angle AOC = angle OAB + angle ABO = 2angle ABC) , откуда (angle ABC = 0,5cdotangle AOC = 0,5cdotbuildrelsmileover) .
Теперь рассмотрим произвольный вписанный угол (ABC) . Проведём диаметр окружности (BD) из вершины вписанного угла. Возможны два случая:
1) диаметр разрезал угол на два угла (angle ABD, angle CBD) (для каждого из которых теорема верна по доказанному выше, следовательно верна и для исходного угла, который является суммой этих двух и значит равен полусумме дуг, на которые они опираются, то есть равен половине дуги, на которую он опирается). Рис. 1.
2) диаметр не разрезал угол на два угла, тогда у нас появляется ещё два новых вписанных угла (angle ABD, angle CBD) , у которых сторона содержит диаметр, следовательно, для них теорема верна, тогда верна и для исходного угла (который равен разности этих двух углов, значит, равен полуразности дуг, на которые они опираются, то есть равен половине дуги, на которую он опирается). Рис. 2.
Следствия
1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой.
3. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
Определения
Существует три типа взаимного расположения прямой и окружности:
1) прямая (a) пересекает окружность в двух точках. Такая прямая называется секущей. В этом случае расстояние (d) от центра окружности до прямой меньше радиуса (R) окружности (рис. 3).
2) прямая (b) пересекает окружность в одной точке. Такая прямая называется касательной, а их общая точка (B) – точкой касания. В этом случае (d=R) (рис. 4).
3) прямая (c) не имеет общих точек с окружностью (рис. 5).
Теорема
1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
2. Если прямая проходит через конец радиуса окружности и перпендикулярна этому радиусу, то она является касательной к окружности.
Следствие
Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.
Доказательство
Проведем к окружности из точки (K) две касательные (KA) и (KB) :
Значит, (OAperp KA, OBperp KB) как радиусы. Прямоугольные треугольники (triangle KAO) и (triangle KBO) равны по катету и гипотенузе, следовательно, (KA=KB) .
Следствие
Центр окружности (O) лежит на биссектрисе угла (AKB) , образованного двумя касательными, проведенными из одной точки (K) .
Теорема об угле между секущими
Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки, равен полуразности градусных мер большей и меньшей высекаемых ими дуг.
Доказательство
Пусть (M) – точка, из которой проведены две секущие как показано на рисунке:
Покажем, что (angle DMB = dfrac(buildrelsmileover — buildrelsmileover)) .
(angle DAB) – внешний угол треугольника (MAD) , тогда (angle DAB = angle DMB + angle MDA) , откуда (angle DMB = angle DAB — angle MDA) , но углы (angle DAB) и (angle MDA) – вписанные, тогда (angle DMB = angle DAB — angle MDA = fracbuildrelsmileover — fracbuildrelsmileover = frac(buildrelsmileover — buildrelsmileover)) , что и требовалось доказать.
Теорема об угле между пересекающимися хордами
Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме градусных мер высекаемых ими дуг: [angle CMD=dfrac12left(buildrelsmileover+buildrelsmileoverright)]
Доказательство
(angle BMA = angle CMD) как вертикальные.
Из треугольника (AMD) : (angle AMD = 180^circ — angle BDA — angle CAD = 180^circ — frac12buildrelsmileover — frac12buildrelsmileover) .
Но (angle AMD = 180^circ — angle CMD) , откуда заключаем, что [angle CMD = frac12cdotbuildrelsmileover + frac12cdotbuildrelsmileover = frac12(buildrelsmileover + buildrelsmileover).]
Теорема об угле между хордой и касательной
Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен половине градусной меры дуги, стягиваемой хордой.
Доказательство
Пусть прямая (a) касается окружности в точке (A) , (AB) – хорда этой окружности, (O) – её центр. Пусть прямая, содержащая (OB) , пересекает (a) в точке (M) . Докажем, что (angle BAM = frac12cdot buildrelsmileover) .
Обозначим (angle OAB = alpha) . Так как (OA) и (OB) – радиусы, то (OA = OB) и (angle OBA = angle OAB = alpha) . Таким образом, (buildrelsmileover = angle AOB = 180^circ — 2alpha = 2(90^circ — alpha)) .
Так как (OA) – радиус, проведённый в точку касания, то (OAperp a) , то есть (angle OAM = 90^circ) , следовательно, (angle BAM = 90^circ — angle OAB = 90^circ — alpha = frac12cdotbuildrelsmileover) .
Теорема о дугах, стягиваемых равными хордами
Равные хорды стягивают равные дуги, меньшие полуокружности.
И наоборот: равные дуги стягиваются равными хордами.
Доказательство
1) Пусть (AB=CD) . Докажем, что меньшие полуокружности дуги (buildrelsmileover=buildrelsmileover) .
(triangle AOB=triangle COD) по трем сторонам, следовательно, (angle AOB=angle COD) . Но т.к. (angle AOB, angle COD) — центральные углы, опирающиеся на дуги (buildrelsmileover, buildrelsmileover) соответственно, то (buildrelsmileover=buildrelsmileover) .
2) Если (buildrelsmileover=buildrelsmileover) , то (triangle AOB=triangle COD) по двум сторонам (AO=BO=CO=DO) и углу между ними (angle AOB=angle COD) . Следовательно, и (AB=CD) .
Теорема
Если радиус делит хорду пополам, то он ей перпендикулярен.
Верно и обратное: если радиус перпендикулярен хорде, то точкой пересечения он делит ее пополам.
Доказательство
1) Пусть (AN=NB) . Докажем, что (OQperp AB) .
Рассмотрим (triangle AOB) : он равнобедренный, т.к. (OA=OB) – радиусы окружности. Т.к. (ON) – медиана, проведенная к основанию, то она также является и высотой, следовательно, (ONperp AB) .
2) Пусть (OQperp AB) . Докажем, что (AN=NB) .
Аналогично (triangle AOB) – равнобедренный, (ON) – высота, следовательно, (ON) – медиана. Следовательно, (AN=NB) .
Теорема о произведении отрезков хорд
Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
Доказательство
Пусть хорды (AB) и (CD) пересекаются в точке (E) .
Рассмотрим треугольники (ADE) и (CBE) . В этих треугольниках углы (1) и (2) равны, так как они вписанные и опираются на одну и ту же дугу (BD) , а углы (3) и (4) равны как вертикальные. Треугольники (ADE) и (CBE) подобны (по первому признаку подобия треугольников).
Тогда (dfrac = dfrac) , откуда (AEcdot BE = CEcdot DE) .
Теорема о касательной и секущей
Квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.
Доказательство
Пусть касательная проходит через точку (M) и касается окружности в точке (A) . Пусть секущая проходит через точку (M) и пересекает окружность в точках (B) и (C) так что (MB < MC) . Покажем, что (MBcdot MC = MA^2) .
Рассмотрим треугольники (MBA) и (MCA) : (angle M) – общий, (angle BCA = 0,5cdotbuildrelsmileover) . По теореме об угле между касательной и секущей, (angle BAM = 0,5cdotbuildrelsmileover = angle BCA) . Таким образом, треугольники (MBA) и (MCA) подобны по двум углам.
Из подобия треугольников (MBA) и (MCA) имеем: (dfrac = dfrac) , что равносильно (MBcdot MC = MA^2) .
Следствие
Произведение секущей, проведённой из точки (O) , на её внешнюю часть не зависит от выбора секущей, проведённой из точки (O) :
Источник: shkolkovo.net