Что же такое ось симметрии? Это множество точек, которые образуют прямую, являющуюся основой симметрии, то есть, если от прямой отложили определенное расстояние с одной стороны, то оно отразится и в другую сторону в таком же размере. Осью может выступать все, что угодно, — точка, прямая, плоскость и так далее. Но об этом лучше говорить на наглядных примерах.
Симметрия
Для того чтобы понять, что такое ось симметрии, нужно вникнуть в само определение симметрии. Это соответствие определенного фрагмента тела относительно какой-либо оси, когда его структура неизменна, а свойства и форма такого объекта остаются прежними относительно его преобразований. Можно сказать, что симметрия — свойство тел к отображению. Когда фрагмент не может иметь подобного соответствия, это называется асимметрией или же аритмией.
Некоторые фигуры не имеют симметрии, поэтому они и называются неправильными или же асимметричными. К таким относятся различные трапеции (кроме равнобедренной), треугольники (кроме равнобедренного и равностороннего) и другие.
№417. Сколько осей симметрии имеет: а) отрезок; б) прямая; в) луч?
Виды симметрии
Также обсудим некоторые виды симметрии, чтобы до конца изучить это понятие. Их разделяют так:
- Осевая. Осью симметрии является прямая, проходящая через центр тела. Как это? Если наложить части вокруг оси симметрии, то они будут равными. Это можно увидеть на примере сферы.
- Зеркальная. Осью симметрии здесь является прямая, относительно которой тело можно отразить и получить обратное отображение. Например, крылья бабочки зеркально симметричны.
- Центральная. Осью симметрии является точка в центре тела, относительно которой при всех преобразованиях части тела равны при наложении.
История симметрии
Само понятие симметрии часто бывает отправной точкой в теориях и гипотезах ученых древних времен, которые были уверены в математической гармонии мироздания, а также в проявлении божественного начала. Древние греки свято верили в то, что Вселенная симметрична, потому что симметрия великолепна. Человек очень давно использовал идею симметрии в своих познаниях картины мироздания.
В V веке до нашей эры Пифагор считал сферу самой совершенной формой и думал, что Земля имеет форму сферы и таким же образом движется. Также он полагал, что Земля движется по форме какого-то «центрального огня», вокруг которого должны были вращаться 6 планет (известные на то время), Луна, Солнце и все другие звезды.
А философ Платон считал многогранники олицетворением четырех природных стихий:
- тетраэдр — огонь, так как его вершина направлена вверх;
- куб — земля, так как это самое устойчивое тело;
- октаэдр — воздух, нет каких-либо объяснений;
- икосаэдр — вода, так как тело не имеет грубых геометрических форм, углов и так далее;
- образом всей Вселенной являлся додекаэдр.
Из-за всех этих теорий правильные многогранники называют телами Платона.
Симметрией пользовались еще зодчие Древней Греции. Все их постройки были симметричны, об этом свидетельствуют изображения древнего храма Зевса в Олимпии.
Голландский художник М. К. Эшер также прибегал к симметрии в своих картинах. В частности, мозаика из двух птиц, летящих навстречу, стала основой картины «День и ночь».
Также и наши искусствоведы не пренебрегали правилами симметрии, что видно на примере картины Васнецова В. М. «Богатыри».
Что уж там говорить, симметрия — ключевое понятие для всех деятелей искусства на протяжении многих веков, но в XX веке ее смысл оценили также все деятели точных наук. Точным свидетельством являются физические и космологические теории, например, теория относительности, теория струн, абсолютно вся квантовая механика. Со времен Древнего Вавилона и, заканчивая передовыми открытиями современной науки, прослеживаются пути изучения симметрии и открытия ее основных законов.
Симметрия геометрических фигур и тел
Рассмотрим внимательнее геометрические тела. Например, осью симметрии параболы является прямая, проходящая через ее вершину и рассекающая данное тело пополам. У этой фигуры имеется одна единственная ось.
А с геометрическими фигурами дело обстоит иначе. Ось симметрии прямоугольника — также прямая, но их несколько. Можно провести ось параллельно отрезкам ширины, а можно — длины. Но не все так просто. Вот прямая не имеет осей симметрии, так как ее конец не определен.
Могла существовать только центральная симметрия, но, соответственно, и таковой не будет.
Следует также знать то, что некоторые тела имеют множество осей симметрии. Об этом догадаться несложно. Даже не нужно говорить о том, сколько осей симметрии имеет окружность. Любая прямая, проходящая через центр окружности, является таковой и этих прямых — бесконечное множество.
У некоторые четырехугольников может быть две оси симметрии. Но вторые должны быть перпендикулярны. Это происходит в случае с ромбом и прямоугольником. В первом оси симметрии — диагонали, а во втором — средние линии. Множество таковых осей только у квадрата.
Симметрия в природе
Природа поражает множеством примеров симметрии. Даже наше человеческое тело устроено симметрично. Два глаза, два уха, нос и рот расположены симметрично относительно центральной оси лица. Руки, ноги и все тело в общем устроено симметрично оси, проходящей через середину нашего тела.
А сколько примеров окружает нас постоянно! Это цветы, листья, лепестки, овощи и фрукты, животные и даже соты пчел имеют ярко выраженную геометрическую форму и симметрию. Вся природа устроена упорядоченно, всему есть свое место, что еще раз подтверждает совершенство законов природы, в которых симметрия — основное условие.
Вывод
Нас постоянно окружают какие-либо явления и предметы, например, радуга, капля, цветы, лепестки и так далее. Их симметрия — очевидна, в какой-то степени она обусловлена гравитацией. Часто в природе под понятием «симметрия» понимают регулярную смену дня и ночи, времен года и так далее.
Подобные свойства наблюдаются везде, где есть порядок и равенство. Также и сами законы природы — астрономические, химические, биологические и даже генетические подчинены определенным принципам симметрии, так как имеют совершенную системность, а значит, сбалансированность имеет всеохватывающий масштаб. Следовательно, осевая симметрия — один из основополагающих законов мироздания в целом.
Источник: fb.ru
wiki.eduVdom.com
Записаться
на занятия (831) 247 47 55
eduVdom.com
Геометрия:
Контакты
eduVdom.com
+7 910 874 73 73
+7 904 064 04 04
Больше контактов.
Оставить отзыв.
subjects:geometry:центральная_и_осевая_симметрии
Четырехугольники
Центральная и осевая симметрии
Центральная и осевая симметрии
Центральная симметрия
Две точки А и А1 называются симметричными относительно точки О, если О — середина отрезка АА1 (рис.1). Точка О считается симметричной самой себе.
Пример центральной симметрии
Точки А и А1 – симметричные относительно точки О
Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Точка О называется центром симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает центральной симметрией.
Примерами фигур, обладающих центральной симметрией, являются окружность и параллелограмм (рис.2).
Фигуры, обладающие центральной симметрией
Центром симметрии окружности является центр окружности, а центром симметрии параллелограмма — точка пересечения его диагоналей. Прямая также обладает центральной симметрией, однако в отличие от окружности и параллелограмма, которые имеют только один центр симметрии (точка О на рис.2), у прямой их бесконечно много — любая точка прямой является ее центром симметрии.
Осевая симметрия
Две точки А и А1 называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к нему (рис.3). Каждая точка прямой а считается симметричной самой себе.
Точки А и А1 — симметричные относительно прямой а
Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре. Прямая а называется осью симметрии фигуры.
Примеры таких фигур и их оси симметрии изображены на рисунке 4.
Заметим, что у окружности любая прямая, проходящая через ее центр, является осью симметрии.
Сравнение симметрий
Центральная и осевая симметрии
Построение треугольника (а) симметрично относительно оси (б) и точки (в)
Пример
Сколько всего осей симметрии имеет фигура, изображённая на рисунке?
Дополнительно
| ← Трапеция | Пропорциональные отрезки → | |
| Оси симметрии на YouTube | ||
| Подобие произвольных фигур | ||
subjects/geometry/центральная_и_осевая_симметрии.txt · Последние изменения: 2022/04/01 20:09 — ¶
Инструменты страницы
- Показать исходный текст
- История страницы
- Ссылки сюда
- Свернуть / развернуть всё
- Наверх
Записаться на занятия
Записаться на занятия к репетитору
- +7 (910) 874 73 73
- +7 (905) 194 91 19
- +7 (831) 247 47 55
Источник: wiki.eduvdom.com
Симметрия
В этом видеоуроке мы поговорим об осевой симметрии. Скажем, что называют осью симметрии. Рассмотрим количество осей симметрии у различных геометрических фигур. Научимся строить отражение фигуры в зеркале. Скажем, какую симметрию называют центральной и чем она характеризуется.
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет.
Получите невероятные возможности
1. Откройте доступ ко всем видеоурокам комплекта.
2. Раздавайте видеоуроки в личные кабинеты ученикам.
3. Смотрите статистику просмотра видеоуроков учениками.
Получить доступ
Конспект урока «Симметрия»
Опыты с зеркалами, которые мы проводили на прошлом занятии, позволили нам прикоснуться к удивительному миру симметрии.
В переводе с греческого слово «симметрия» означает «соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей».
Посмотрите на кленовый лист, бабочку, снежинку. Их объединяет то, что они симметричны. Если мы на каждом из рисунков начертим прямую вот таким образом…
А затем поставим зеркальце вдоль этой прямой на каждом рисунке, то отражённая в зеркале половинка фигуры дополнит её до целой (такой же, как исходная фигура).
Поэтому такая симметрия называется зеркальной (или осевой, если речь идёт о плоскости). Прямая, вдоль которой поставлено зеркало, называется осью симметрии.
Если симметричную фигуру сложить пополам вдоль оси симметрии, то её части совпадут.
С симметрией мы постоянно встречаемся в повседневной жизни. Люди используют симметрию в орнаментах, предметах быта, технике. Издавна человек использовал симметрию в архитектуре. Древним храмам, башням средневековых замков, современным зданиям она придаёт гармоничность, законченность. Симметрия также встречается в природе.
Она создаёт ощущение порядка, гармонии, красоты.
Давайте сделаем кляксу. Для этого на лист бумаги капнем чернил. Сложим лист вдвое, а затем разогнём. Линия сгиба листа является осью симметрии кляксы.
Получается, что клякса имеет одну (вертикальную) ось симметрии.
А вот у снежинки 6 линий сгиба и все они являются осями симметрии.
У геометрических фигур может быть одна или несколько осей симметрии, а может и не быть совсем.
Так, прямоугольник обладает двумя осями симметрии, каждая из которых проходит через середины двух его противоположных сторон. То есть, вырезав прямоугольник из бумаги и перегнув его по любой из двух осей симметрии, половинки фигуры совпадут.
Ромб также обладает двумя осями симметрии. Это прямые, которые содержат его диагонали.
Квадрат имеет четыре оси симметрии. Две проходят через середины его противоположных сторон. И ещё две – это прямые, которые содержат его диагонали.
Круг. Его осью симметрии является любая прямая, которая проходит через его центр, то есть содержит диаметр круга. А значит, круг имеет бесконечно много осей симметрии
Теперь посмотрите на следующую фигуру. Это произвольный параллелограмм. У него нет ни одной оси симметрии.
У произвольного треугольника тоже нет осей симметрии.
У равнобедренного треугольника есть одна ось симметрии.
У равностороннего (то есть у правильного) треугольника – три оси симметрии.
Теперь посмотрите на шестиугольник. У него три оси симметрии, которые проходят через противоположные вершины, и ещё три оси, которые проходят через середины противоположных сторон. То есть всего шесть осей симметрии.
Таким образом, мы можем сказать, что круг – «самая симметричная» фигура из рассмотренных, так как он имеет бесконечно много осей симметрии.
Сейчас давайте посмотрим на следующие фигуры и выясним, какая из них лишняя.
Итак, первая фигура напоминает замочную скважину. Она имеет одну ось симметрии.
Вторая фигура тоже имеет одну ось симметрии.
У третьей фигуры (в виде буквы Т) одна ось симметрии.
У четвёртой тоже одна. А вот пятая фигура не имеет ни одной оси симметрии. И поэтому она лишняя.
Теперь давайте посмотрим на следующие пять фигур. Что у них общего?
Первая фигура – круг. Выше мы выяснили, что у круга бесконечно много осей симметрии. Вторая фигура (в виде стрелки) имеет только одну ось симметрии. Третья фигура – эллипс. У эллипса две оси симметрии. Четвёртая фигура имеет одну ось симметрии. Пятая фигура тоже имеет одну ось симметрии.
Каждая фигура имеет хотя бы одну ось симметрии.
На предыдущем занятии мы с вами проводили опыт с двумя плоскими зеркалами. С помощью составленного из двух зеркал калейдоскопа мы получали симметричные фигуры.
Давайте изобразим в виде прямых два зеркала под углом друг к другу. Затем нарисуем в одном из углов некоторую линию и, не пользуясь настоящими зеркалами, дорисуем её до симметричной фигуры, которая получилась бы при отражении в зеркалах. Полученная фигура имеет две оси симметрии. Понятно, что угол ними равен .
Посмотрите на рассмотренные выше фигуры, которые имеют две оси симметрии. Угол между осями равен .
Если, например, мы поставим зеркала под углом друг к другу, то линия отразится 5 раз, а полученная фигура будет иметь 3 оси симметрии.
Давайте научимся точно строить отражение фигуры в зеркале. Представим, что прямая l – зеркало (или ось симметрии). Изобразим некоторую ломаную и построим её отражение в зеркале.
Итак, из вершин 
, 
и 
опускаем перпендикуляры на прямую l. Затем продолжаем их «за зеркало» на такое же расстояние (равное длине соответствующего отрезка). Получаем точки 
, 
и 
. Соединяем эти точки. Ломаная 
является отражение ломаной .
Можно сказать, что ломаная симметрична ломаной относительно прямой l.
Построим с вами треугольник, симметричный треугольнику относительно прямой l.
Из вершин и опустим перпендикуляры на прямую l. Затем продолжим их за прямую l на такое же расстояние (равное длине соответствующего отрезка). Получим точки и .
При этом точка осталась на месте. Она лежит на оси симметрии. Она симметрична сама себе. 
и 
симметричны относительно прямой l.
А сейчас посмотрите на рисунок.
Давайте выясним, симметрична ли точка точке относительно прямой l. Для этого мы соединим точки и . Затем с помощью угольника проверим, перпендикулярна ли прямая l отрезку 
. Перпендикулярна.
Потом с помощью линейки проверим, делит ли прямая l отрезок и пополам. Делит.
Значит, точки и симметричны относительно прямой l.
Кроме симметрии относительно прямой существует ещё симметрия относительно точки, так называемая центральная симметрия. Она характеризуется наличием центра симметрии – точки О, которая обладает определённым свойством. Можно сказать, что точка О является центром симметрии, если при повороте вокруг точки О на фигура переходит сама в себя.
Понятие центральной симметрии распространяется и на трёхмерное пространство.
Проверить, является ли фигура центрально-симметричной или нет, можно с помощью обычной иголки и кальки. Наложим на нашу фигуру кальку. Затем, проколов фигуру в предполагаемом центре и обведя её контур, надо повернуть фигуру на вокруг иголки. Если фигура «вошла» в свой контур, то она центрально-симметричная.
Сейчас посмотрите на плоские фигуры, которые имеют и центр симметрии, и оси симметрии.
Это круг. Выше мы сказали, что он имеет бесконечно много осей симметрии, каждая из которых содержит его диаметр. А вот центром симметрии круга является его центр.
Квадрат имеет четыре оси симметрии. Центром симметрии квадрата является точка пересечения его диагоналей.
У шестиугольника шесть осей симметрии. Центром его симметрии является точка пересечения его диагоналей.
Выше мы сказали, что произвольный параллелограмм не имеет ни одной оси симметрии. Но он имеет центр симметрии – это точка пересечения его диагоналей.
А вот, например, равнобедренный треугольник имеет ось симметрии, но не имеет центра симметрии. То же самое можно сказать и про пятиугольник, у которого есть оси симметрии, но центра симметрии нет.
Источник: videouroki.net