В каком классе проходят квадратный корень

В уроке «Степень числа» мы проходили, что возвести в квадрат число означает умножить число на само себя. Кратко запись числа в квадрате выглядит следующим образом:

3 · 3 = 3 2 = 9

Но как быть, если нам нужно получить обратный результат? Например, узнать, какое число при возведении в квадрат дало бы число « 9 »?

Запомните!

Нахождение исходного числа, которое в квадрате дало бы требуемое, называется извлечением квадратного корня.

Извлечение квадратного корня — это действие, обратное возведению в квадрат.

У квадратного корня есть специальный знак. Исходя из вычислений выше, нетрудно догадаться, что число, которое в квадрате дает « 9 », это число « 3 ». Запись извлечения квадратного корня из числа « 9 » выглядит так:

Читаем запись: «Арифметический квадратный корень из девяти». Можно опустить слово «арифметический». Словосочетания «арифметический квадратный корень» и «квадратный корень» полностью равнозначны.

Число под знаком корня называют подкоренным выражением.

знак квадратного корня и подкоренное выражение

Подкоренное выражение может быть представлено не только одним числом. Всё, что находится под знаком корня, называют подкоренным выражением. Оно может сожержать как числа, так и буквы.

подкоренное выражение из чисел подкоренное выражение из букв

Запомните!

Извлекать квадратный корень можно только из положительного числа.

  • √ −9 = … нельзя извлекать квадратный корень из отрицательного числа;
  • √ 64 = 8
  • √ −1,44 = … нельзя извлекать квадратный корень из отрицательного числа;
  • √ 256 = 16

Квадратный корень из нуля

Запомните!

Квадратный корень из нуля равен нулю.

Квадратный корень из единицы

Запомните!

Квадратный корень из единицы равен единице.

Как найти квадратный корень из числа

Квадратные корни из целых чисел, чьи квадраты известны, вычислить довольно просто. Для этого достаточно выучить таблицу квадратов.

Чаще всего в задачах школьного курса математики требуется найти квадратный корень из квадратов чисел от 1 до 20 .

Решение примеров с квадратными корнями

Разбор примера

Вычислить арифметический квадратный корень из числа.

  • √ 81 = 9
  • √ 64 = 8
  • √ 100 = 10

Как найти квадратный корень из десятичной дроби

Галка

Важно!

При нахождении квадратного корня из десятичной дроби нужно выполнить следующие действия:

  1. забыть про запятую в исходной десятичной дроби и представить её в виде целого числа;
  2. вычислить для целого числа квадратный корень;
  3. полученное целое число заменить на десятичную дробь (поставить запятую исходя из правила умножения десятичных дробей).

Более подробно разберем на примере ниже.

Разбор примера

Вычислить квадратный корень из десятичной дроби « 0,16 ».

Читайте также:  Как сделать мелирование на русые волосы

По первому пункту правила забудем про запятую в десятичной дроби и представим ее в виде целого числа « 16 ».

Нетрудно вспомнить, какое число в квадрате дает « 16 ». Это число « 4 ».

Вспомним правило умножения десятичных дробей. Количество знаков после запятой в результате умножения десятичных дробей равняется сумме количества знаков после запятой каждой дроби.

Т.е., например, при умножении « 0,15 » на « 0,3 » в полученном произведении будет десятичная дробь с тремя знаками после запятой.

Значит, при вычислении квадратного корня √ 0,16 нам нужно найти десятичную дробь, у которой был бы только один знак после запятой. Мы исходим из того, что в результате умножения десятичной дроби на саму себя в результате должно было получиться два знака после запятой, как у десятичной дроби « 0,16 ».

Получается, что ответ — десятичная дробь « 0,4 ».

Убедимся, что квадрат десятичной дроби « 0,4 2 » дает « 0,16 ». Умножим в столбик « 0,4 » на « 0,4 ».

умножение 0,4 на 0,4 в столбик

Рассмотрим другой пример вычисления квадратного корня из десятичной дроби. Вычислить:

Представим вместо десятичной дроби « 1,44 » целое число « 144 ». Какое число в квадрате даст « 144 »? Ответ — число « 12 ».

Так как в десятичной дроби « 1,44 » — два знака после запятой, значит в десятичной дроби, которая дала в квадрате « 1,44 » должен быть один знак после запятой.

Убедимся, что « 1,2 2 » дает в квадрате « 1,44 ».

1,2 2 = 1,2 · 1,2 = 1,44

Квадратные корни из чисел √ 2 , √ 3 , √ 5 , √ 6 , и т.п.

Не из всех чисел удается легко извлечь квадратный корень. Например, совершенно неочевидно, чему равен √ 2 или √ 3 и т.п.

В самом деле, какое число в квадрате даст « 2 »? Или число « 3 »? Такое число не будет целым. Более того, оно представляет из себя непериодическую десятичную дробь и входит в множество иррациональных чисел.

Что делать, когда в ответе остаются подобные квадратные корни? Как, например, в примере ниже:

√ 15 − 2 · 4 = √ 15 − 8 = √ 7

Нет такого целого числа, которое бы дало в квадрате число « 7 ». Поэтому, перед завершением задачи внимательно читайте её условие.

Если в задаче дополнительно ничего не сказано об обязательном вычислении всех квадратных корней, тогда ответ можно оставить с корнем.

√ 15 − 2 · 4 = √ 15 − 8 = √ 7

Если в задании сказано, что необходимо вычислить все квадратные корни с помощью микрокалькулятора, то после вычисления квадратного корня на калькуляторе округлите результат до необходимого количества знаков.

Текст задания в таком случае может быть написан следующим образом:

Читайте также:  Как наносить румяна на вытянутое лицо

«Вычислить. Квадратные корни найти с помощью калькулятора и округлить с точностью до « 0,001 ».

√ 15 − 2 · 4 = √ 15 − 8 = √ 7 ≈ 2,646

Источник: math-prosto.ru

Квадратный корень и его свойства

В школьной программе арифметический квадратный корень изучается в 7-8 классе на уроках алгебры. От того, насколько хорошо ученик усвоил материал, в будущем зависит понимание более сложных тем.
В повседневной жизни без квадратного корня не обойтись при нахождении площадей, решении квадратных уравнений, записи иррациональных чисел, в теории вероятностей и статистике, небесной механике, физике и т.д. Умение извлекать корень и знание его свойств потребуется при решении многих заданий ЕГЭ и ОГЭ.

Итак, арифметический квадратный корень из неотрицательного числа (a) – это математическая операция, позволяющая получить некоторое действительное число (b geqslant 0), которое при умножении на само себя дает (a). Наглядно проиллюстрировать это позволяет пример: $$ sqrt=sqrt=4, $$ Число 16 стоит под знаком корня. Нужно найти значение, при возведении которого в квадрат (умножении на себя) получится 16. Это число – 4. Корень квадратный из 16 равен 4.

Важно, что квадратный корень существует только от неотрицательных чисел. Если под корнем стоит отрицательное число, то корень не существует. Например, не имеет смысла выражение (sqrt).

Так же, для любого (a geq 0) из определения квадратного корня следует:

Разберем несколько полезных примеров на вычисление корней:

На экзаменах часто встречаются упражнения на преобразования выражений с квадратными корнями при помощи формул сокращенного умножения. Рассмотрим примеры.

Пример 3 $$(2-sqrt)^2+4sqrt=?$$ Воспользуемся формулой квадрата разности ((a-b)^2=a^2-2ab+b^2). $$(2-sqrt)^2+4sqrt=2^2-2*2*sqrt+5+4sqrt=4-4sqrt+5+4sqrt=9.$$

И воспользуемся формулой разности квадратов (a^2-b^2=(a-b)(a+b).)
Пример 4 $$ sqrt=sqrt=sqrt=sqrt=5;$$

Уравнение (x^2=a)

Одна из самых популярных ошибок при решении уравнений у школьников старших классов — неправильное решение уравнения (x^2=a), где (a) — произвольное число.

Возможно три варианта решения данного уравнения:

При (a 0) решений будет два:

Источник: sigma-center.ru

В каком классе проходят квадратный корень

Найдем длину стороны квадрата, если его площадь равна 100 м 2 .

Пусть длина стороны квадрата равна х (м). Тогда площадь квадрата равна x 2 (м 2 ). По условию эта площадь составляет 100 м 2 . Получаем уравнение x 2 = 100. Запишем его в виде x 2 – 100 = 0 и по формуле разности квадратов разложим левую часть на множители: x 2 – 10 2 = 0 или (х + 10)(х – 10) = 0. Произведение множителей равно нулю, если один из них равен нулю.

Получаем два линейных уравнения: х + 10 = 0 (его корень х = –10) их – 10 = 0 (корень х = 10). Таким образом, уравнение x 2 = 100 имеет два корня: х = –10 и х = 10. Квадраты обоих чисел равны 100, поэтому оба числа называются квадратными корнями из числа 100. Так как длина стороны квадрата не может выражаться отрицательным числом, то условию задачи удовлетворяет только один из корней уравнения — х = 10. Итак, длина стороны квадрата 10 м.

Читайте также:  Какая зима будет кетом году в Москве

Квадратным корнем из неотрицательного числа а называют число b, квадрат которого равен числу а. В рассмотренном примере числа 10 и –10 были квадратными корнями из положительного числа 100, так как и 10 2 = 100, и (–10) 2 = 100.

Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа а называется неотрицательное число b, квадрат которого равен числу а. Арифметический квадратный корень обозначается символом √. Таким образом, b = √а, если выполнено соотношение b 2 = а (а, b > 0).

Символ называют знаком арифметического квадратного корня, выражение, стоящее под знаком корня, называют подкоренным выражением. Запись √а читают: квадратный корень из а (слово «арифметический» при этом опускают).

Пример 2

Из рассмотренного примера видно, что операция извлечения квадратного корня из числа обратна операции возведения числа в квадрат.

Обратите внимание на то, что арифметическим квадратным корнем всегда является неотрицательное число.

Пример 3

Заметим, что нельзя считать √9 = –3 арифметическим квадратным корнем, хотя и выполняется соотношение b 2 = (–3) 2 = 9 = а. Однако b = –3 < 0, и это значение b не арифметический квадратный корень.

Из рассмотренного примера следует, что √а 2 = |а|, так как арифметический квадратный корень должен быть числом неотрицательным.

Пример 4

Здесь по определению раскрыт модуль числа (с – 3).

Таким образом, число b является арифметическим квадратным корнем из числа а (т. е. b = √a), если выполнены два условия: 1) b ≥ 0 и 2) b 2 = а.

При а < 0 выражение √а не имеет смысла. Очевидно, что если подставить величину b = √а в условие 2, то получим тождество (√а) 2 = а (справедливое при допустимых значениях а, т. е. при а > 0).

2. Решение простейших уравнений

С понятием арифметического квадратного корня связаны простейшие иррациональные уравнения и неравенства.

Пример 5

Пример 6

Пример 7

Пример 8

III. Задания на уроке

№ 298 (а, в); 299 (б, г); 300 (а, в, д); 302 (б); 304 (б, г, е); 305 (а, д); 307 (б); 308 (а); 311 (а, г); 314 (а, б).

IV. Контрольные вопросы

  1. Дайте определение квадратного корня.
    2. Дайте определение арифметического квадратного корня.
    3. При каких условиях √а =b
    4. Для каких значений а выражение √a имеет смысл?

V. Творческие задания

VI. Подведение итогов урока

Домашнее задание: № 298 (б, г); 299 (а, в); 300 (б, г, е); 302 (а); 304 (а, в, д); 305 (б, г); 307 (а); 308 (б); 311 (б, е); 315.

Вы смотрели: Поурочное планирование по алгебре для 8 класса. УМК Макарычев (Просвещение). Глава 2. КВАДРАТНЫЕ КОРНИ (19 ч). § 5. Арифметический квадратный корень (5 ч). Урок 26. Квадратные корни.

Арифметический квадратный корень.

Источник: uchitel.pro

Рейтинг
( Пока оценок нет )
Загрузка ...
Lady Today