При помощи уравнений можно описать любые процессы — даже те, что происходят в природе. Метод не самый легкий, но зато универсальный: щелкать с ними задачки можно на раз, два.
· Обновлено 13 июля 2022
Основные понятия
Алгебра в 8 и 9 классе становится сложнее. Но если изучать темы последовательно и регулярно практиковаться в тетрадке и онлайн — ходить на уроки математики будет не так страшно.
Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в исходное уравнение получилось верное числовое равенство.
Например, возьмем 3 + 4 = 7. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 7 = 7.
Уравнением можно назвать, например, равенство 3 + x = 7 с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.
Система уравнений — это несколько уравнений, для которых надо найти значения неизвестных, каждое из которых соответствует данным уравнениям.
Так как существует множество уравнений, составленных с их использованием систем уравнений также много. Поэтому для удобства изучения существуют отдельные группы по схожим характеристикам. Рассмотрим способы решения систем уравнений.
Получай лайфхаки, статьи, видео и чек-листы по обучению на почту
Реши домашку по математике на 5.
Подробные решения помогут разобраться в самой сложной теме.
Линейное уравнение с двумя переменными
Уравнение вида ax + by + c = 0 называется линейным уравнением с двумя переменными x и y, где a, b, c — числа.
Решением этого уравнения называют любую пару чисел (x; y), которая соответствует этому уравнению и обращает его в верное числовое равенство.
Теорема, которую нужно запомнить: если в линейном уравнение есть хотя бы один не нулевой коэффициент при переменной — его графиком будет прямая линия.
Вот алгоритм построения графика ax + by + c = 0, где a ≠ 0, b ≠ 0:
- Дать переменной конкретное значение x = x₁, и найти значение y = y₁ при ax₁ + by + c = 0.
- Дать x другое значение x = x₂, и найти соответствующее значение y = y₂ при ax₂ + by + c = 0.
- Построить на координатной плоскости xy точки: (x₁; y₁); (x₂; y₂).
- Провести прямую через эти две точки и вуаля — график готов.
Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!
Система двух линейных уравнений с двумя переменными
Для ax + by + c = 0 можно сколько угодно раз брать произвольные значение для x и находить значения для y. Решений в таком случае может быть бесчисленное множество.
Система линейных уравнений (ЛУ) с двумя переменными образуется в случае, когда x и y связаны не одним, а двумя уравнениями. Такая система может иметь одно решение или не иметь решений совсем. Выглядит это вот так:
Из первого линейного уравнения a₁x + b₁y + c₁ = 0 можно получить линейную функцию, при условии если b₁ ≠ 0: y = k₁x + m₁. График — прямая линия.
Из второго ЛУ a₂x + b₂y + c₂ = 0 можно получить линейную функцию, если b₂ ≠ 0: y = k₂x + m₂. Графиком снова будет прямая линия.
Можно записать систему иначе:
Множеством решений первого ЛУ является множество точек, лежащих на определенной прямой, аналогично и для второго ЛУ. Если эти прямые пересекаются — у системы есть единственное решение. Это возможно при условии, если k₁ ≠ k₂.
Две прямые могут быть параллельны, а значит, они никогда не пересекутся и система не будет иметь решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ ≠ m₂.
Две прямые могут совпасть, и тогда каждая точка будет решением, а у системы будет бесчисленное множество решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ = m₂.
Метод подстановки
Разберем решение систем уравнений методом подстановки. Вот алгоритм при переменных x и y:
- Выразить одну переменную через другую из более простого уравнения системы.
- Подставить то, что получилось на место этой переменной в другое уравнение системы.
- Решить полученное уравнение, найти одну из переменных.
- Подставить поочередно каждый из найденных корней в уравнение, которое получили на первом шаге, и найти второе неизвестное значение.
- Записать ответ. Ответ принято записывать в виде пар значений (x; y).
Решим систему уравнений методом подстановки
Потренируемся решать системы линейных уравнений методом подстановки.
Пример 1
- Решите систему уравнений: x − y = 4
x + 2y = 10 - Выразим x из первого уравнения: x − y = 4
x = 4 + y - Подставим получившееся выражение во второе уравнение вместо x: x + 2y = 10
4 + y + 2y = 10 - Решим второе уравнение относительно переменной y: 4 + y + 2y = 10
4 + 3y = 10
3y = 10 − 4
3y = 6
y = 6 : 3
y = 2 - Полученное значение подставим в первое уравнение вместо y и решим уравнение: x − y = 4
x − 2 = 4
x = 4 + 2
x = 6
Ответ: (6; 2).
Пример 2
- Решите систему линейных уравнений: x + 5y = 7
3x = 4 + 2y - Сначала выразим переменную x из первого уравнения: x + 5y = 7
x = 7 − 5y - Выражение 7 − 5y подставим вместо переменной x во второе уравнение: 3x = 4 + 2y
3 (7 − 5y) = 4 + 2y - Решим второе линейное уравнение в системе: 3 (7 − 5y) = 4 + 2y
21 − 15y = 4 + 2y
21 − 15y − 2y = 4
21 − 17y = 4
17y = 21 − 4
17y = 17
y = 17 : 17
y = 1 - Подставим значение y в первое уравнение и найдем значение x: x + 5y = 7
x + 5 = 7
x = 7 − 5
x = 2
Ответ: (2; 1).
Пример 3
- Решите систему линейных уравнений: x − 2y = 3
5x + y = 4 - Из первого уравнения выразим x: x − 2y = 3
x = 3 + 2y - Подставим 3 + 2y во второе уравнение системы и решим его: 5x + y = 4
5 (3 + 2y) + y = 4
15 + 10y + y = 4
15 + 11y = 4
11y = 4 − 15
11y = −11
y = −11 : 11
y = −1 - Подставим получившееся значение в первое уравнение и решим его: x − 2y = 3
x − 2 (−1) = 3
x + 2 = 3
x = 3 − 2
x = 1
Ответ: (1; −1).
Метод сложения
Теперь решим систему уравнений способом сложения. Алгоритм с переменными x и y:
- При необходимости умножаем почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами.
- Складываем почленно левые и правые части уравнений системы.
- Решаем получившееся уравнение с одной переменной.
- Находим соответствующие значения второй переменной.
- Запишем ответ в в виде пар значений (x; y).
Пример.
Домножим первое уравнение системы на -2, второе оставим без изменений. Система примет вид:
Сложим уравнения, получим
Отсюда y = -3, а, значит, x = 2
Ответ: (2; -3).
Система линейных уравнений с тремя переменными
Системы ЛУ с тремя переменными решают так же, как и с двумя. В них присутствуют три неизвестных с коэффициентами и свободный член. Выглядит так:
- ax + by + cz = d
Решений в таком случае может быть бесчисленное множество. Придавая двум переменным различные значения, можно найти третье значение. Ответ принято записывать в виде тройки значений (x; y; z).
Если x, y, z связаны между собой тремя уравнениями, то образуется система трех ЛУ с тремя переменными. Для решения такой системы можно применять метод подстановки и метод сложения.
Решение задач
Разберем примеры решения систем уравнений.
Задание 1. Как привести уравнение к стандартному виду ах + by + c = 0?
5x − 8y = 4x − 9y + 3
- 5x − 8y = 4x − 9y + 3
- 5x − 8y − 4x + 9y = 3
- x + y = 3
Задание 2. Как решать систему уравнений способом подстановки
- Выразить у из первого уравнения:
- Подставить полученное выражение во второе уравнение:
- Найти соответствующие значения у:
Задание 3. Как решать систему уравнений методом сложения
- Решение систем линейных уравнений начинается с внимательного просмотра задачи. Заметим, что можно исключить у. Для этого умножим первое уравнение на минус два и сложим со вторым:
- Решаем полученное квадратное уравнение любым способом. Находим его корни:
- Найти у, подставив найденное значение в любое уравнение:
- Ответ: (1; 1), (1; -1).
Задание 4. Решить систему уравнений
Решим второе уравнение и найдем х = 2, х = 5. Подставим значение переменной х в первое уравнение и найдем соответствующее значение у.
Задание 5. Как решить систему уравнений с двумя неизвестными
При у = -2 первое уравнение не имеет решений, при у = 2 получается:
Источник: skysmart.ru
«Системы уравнений. Решение системы уравнений.»
Тема: «Системы уравнений. Решение системы уравнений.» Тип урока: ознакомление с новым материалом Цель урока: формирование представлений об уравнениях первой степени с одним неизвестным. Задачи урока: Обучающая: сформировать навык решения системы уравнений.
Зубкова Надежда Анатольевна
Содержимое разработки
Урок № 39 по алгебре в 7
Тема: «Системы уравнений. Решение системы уравнений.»
Тип урока: ознакомление с новым материалом
Цель урока: формирование представлений об уравнениях первой степени с одним неизвестным.
Задачи урока:
Обучающая: сформировать навык решения системы уравнений .
Воспитательная: умение анализировать собственные знания, причины затруднений при выполнении задания, находить новые способы решения (выдвигать “гипотезы”), развивать способности к оценке продуктивности собственной.
Развивающая: развивать творческую активность учащихся, интерес к предмету.
Планируемые результаты:
Предметные: находят корни линейных уравнений или доказывают, что их нет.
Личностные: Проявляют устойчивый и широкий интерес к способам решения познавательных задач, положительное отношение к урокам алгебры, дают оценку результатов своей учебной деятельности.
Метапредметные:
Р – определяют цель учебной деятельности, осуществляют поиск средств её осуществления.
П – делают предположения об информации, которая нужна для решения учебной задачи.
К – умеют отстаивать точку зрения, аргументируя ее, подтверждая фактами.
Оборудование: мультимедийный проектор, компьютер, интерактивная доска, дифференцированные карточки (приложение).
Структура урока:
| Организационный момент | 2 мин | |
| Проверка д/з | 3 мин | |
| Воспроизведение и коррекция опорных знаний через устный счет | 5 мин | |
| Сообщение темы и цели урока | 1 мин | |
| Ознакомление с новым материалом | 10мин | |
| Физкультминутка | 1 мин | |
| Перенос приобретенных знаний и их первичное применение в новых условиях с целью формирования умений | 15мин | |
| Рефлексия | 2 мин | |
| Постановка Д/З | 2 мин |
Ход урока
| Учитель | Ученики | УУД | ||
| 1.Организационный момент | ||||
| Приветствую учащихся. Сажаю их на места. | Приветствуют учителя. | К: Умение слушать и вступать в диалог. | ||
| 2. Проверка Д/З | ||||
| Какие вопросы по контрольной работе? | Задают вопросы | К: Умение слушать и вступать в диалог. | ||
| 3. Воспроизведение и коррекция опорных знаний через устный счет | ||||
| — Что является решением линейного уравнения с двумя переменными? Подумайте, а если у нас два таких уравнения, что будет решением этих уравнений? — Итак, используя метод аналогии, вы сами сформулировали определение решения системы линейных уравнений с двумя переменными. | ||||
Один ученик у доски, остальные в тетрадях
Источник: videouroki.net
кто знает, для какого класса.
решали с племяшкой задачу повышенной сложности… Стоимость 5 буйволов и 2 баранов 10 ланов золота. Стоимость 2 буйволов и 5 баранов 8 лонов золота. Сколько лонов золота стоит 1 буйвол и 1 баран по отдельности? я то ее конечно решила, но что-то не уверена, что она что-то поняла… кто такую решал… в каком классе .
Комментарии
Дочка в шестом классе, с математикой конечно не очень, решить не смогла.
24 ноября 2014 07:50
если вдруг кому надо будет — вот решения двумя способами
2х+5((10-5х)/2)=8 либо 2х+(5(10-5х))/2=8, умножаем на 2 всё уравнение
получаем 4х+5(10-5х)=16, раскрываем скобки
получаем 4х+50-25х=16 и решаем далее
4х-25х=16-50
-21х=-34, умножаем на (-1)
21х=34, х=34/21=1 целая 13/21
отсюда у=(10-5(34/21))/2, умножаем на 2 и получаем
2у=10-5(34/21) или 2у=10-(5*34)/21, умножаем на 21
получаем 42у=21*10-5*34
42у=210-170
42у=40, у=40/42=20/21
пусть буйвол х, баран у
тогда получаем систему уравнений
5х+2у=10
2х+5у=8
Сложим оба уравнения, получим 5х + 2х + 2у + 5у =18, в итоге 7х + 7у = 18. Отсюда х + у = 18/7,
тогда х= 18/7 — у. Подсталяем выражение для х в любое из первоначальных уравнений (я выбрала 1-е), получаем
5*(18/7-у) + 2у = 10
90/7 -5у + 2у = 10
-3у = 10 — 90/7
у = (-20/7)/(-3)
у= 20/21
Посдтавляем найденное у в х= 18/7 — у, получаем
х= 18/7 — 20/21
х= 34/21
Источник: www.baby.ru