В каком классе проходят вероятность по алгебре

практике, умения формулировать выводы при наблюдениях.

— воспитательная: в результате урока учащиеся совершенствуют коммуникативные

— двенадцать 5-ти рублёвых монет

— мультимедийный проектор и экран;

— авторская презентация, подготовленная с помощью Microsoft Power Point;

1. Организационный момент

1. Актуализация опорных знаний

Вступительное слово учителя :

Случай, случайность – с ними мы встречаемся повседневно: случайная встреча, случайная находки, случайная ошибка. Этот ряд можно продолжать бесконечно. Казалось бы, тут нет места для математики, – какие уж законы в царстве Случая! Но и здесь наука обнаружила интересные закономерности – они позволяют человеку уверенно чувствовать себя при встрече со случайными событиями.

Итак, у вас на парте лежит монета. Если подбросить монету, какой стороной она ляжет вверх?

Учащиеся разделяются на 2 группы: одни учащиеся считают, что выпадет «Орёл», а другие – « Решка».

Учитель: «Проверьте своё предположение. Что получили?»

У некоторых учащихся прогноз подтвердился, а у других нет.

Учитель: «Все зависит от случая. Может показаться, что в подобных задачах нет никаких закономерностей. Но что происходит при большом количестве бросков?» Проведём исследование.

Учитель : «Ваша задача: провести серию экспериментов (10 испытаний) с подбрасыванием монеты и фиксированием результатов выпадения орла и решки на листе». Лист лежит на краю парты

Учитель: «Что происходит с увеличение числа испытаний?»

Ученик, которому было дано индивидуальное домашнее задание, демонстрирует полученные результаты

К-во испытаний Исход

Учащиеся: При большом количестве бросков примерно в половине случаев выпадает “орел” .

Учитель: « Какую долю занимает количество появления орла и решки по отношению к общему количеству испытаний?»

Учащиеся: Приблизительно половина — 0,5

Учитель: Числовая оценка шансов на успех стара как мир.

Французский естествоиспытатель Жорж Бюссон (1707-1788) бросал монету 4040 раз, и “орел” выпал в 2048 случаях. Английский математик Чарльз Пирсон (1857-1936) — 24000 раз подбросил монету, “орел” выпал 12012 раз.

Вывод : Результаты бросания монеты обладают некоторой закономерностью, хотя итог каждого броска неизвестен.

Учитель: В практической деятельности человеку часто не требуется знать исход одного испытания, но необходимо знать закономерности, появляющиеся при проведении большого числа испытаний.

1. Изучение нового материала

Оказывается, и в мире случайного действуют определенные законы, изучением которых занимается раздел математики, который называется «теорией вероятностей»

Основатель современной теории вероятностей А.Н.Колмогоров:

«Вероятность математическая – это числовая характеристика степени возможности появления какого-либо определенного события в тех или иных определенных, могущих повторяться неограниченное число раз условиях».

Основным понятием в теории вероятности является событие .

Учитель : Что понимают под словом событие?

Учащиеся : Событием называется результат опытов наблюдений или испытаний.

В ходе фронтальной беседы формулируются определения

Достоверное событие – событие, которое при данных условиях всегда произойдет , например, в ящике 10 белых шаров, то событие извлеченный шар – белый – достоверное.

Невозможное событие – то, которое в данных условиях не может произойти. В ящике 10 белых шаров, то событие вытащить черный шар — невозможное.

Случайным называется событие, результат которого мы не можем точно предсказать заранее. При бросании монеты событие – выпал орёл – случайное.

Равновозможные – события, любое из которых не обладает никаким преимуществом появляться чаще других при многократных испытаниях.

Учитель : Возьмем игральный кубик, то при бросании этого кубика каковы шансы выпадения на его верхней грани 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков?

Учащиеся: Одинаковы, т.к. нет оснований считать, что выпадение одного из очков, например 6 более вероятно, чем 2.

Фронтальная работа (первичный контроль)

1.О каком событии идёт речь? «Из 25 учащихся класса двое справляют день рождения 30 февраля».

2 . Это событие является случайным :

А) слово начинается с буквы «ь»;

В) ученику 8 класса 6 месяцев;

С) бросили две игральные кости: сумма выпавших на них очков равна 8.

3. Найдите достоверное событие:

А) На уроке математики ученики делали физические упражнения;

В) Сборная России по футболу не станет чемпионом мира 2005 года;

С) Подкинули монету и она упала на «Орла».

4. Среди пар событий, найдите несовместимые .

А) В сыгранной Катей и Славой партии шахмат, Катя проиграла и Слава проиграл.

В) Из набора домино вынута одна костяшка, на ней одно число очков больше 3, другое число 5.

С) Наступило лето, на небе ни облачка.

5. Колобок катится по лесным тропкам, куда глаза глядят. На полянке его тропинка расходится на четыре тропинки, в конце которых Колобка поджидают Заяц, Волк, Медведь и Лиса. Сколько исходов для выбора Колобком наугад одной из четырёх тропинок?

Учитель: Итак, мы выяснили что такое событие, испытание. А что же такое вероятность события?

А – некоторое событие,

m – количество исходов, при которых событие А появляется,

n – конечное число равновозможных исходов.

Вероятностью Р наступления случайного события А называется отношение m/n, где n – число всех возможных исходов эксперимента, а m – число всех благоприятных исходов:

Такое определение вероятности было впервые дано в работах французского математика Лапласа и называется классическим.

Рассмотрим применение данной формулы при решении задачи.

Видео разбор решения задачи 1 : Брошена игральная кость. Какова вероятность того, что выпадет число меньше 4?

1. Осмысление изученного материала

Мама, папа, сын и дочка бросили жребий – кому мыть посуду. Найдите вероятность того, что посуду будет мыть папа.

Учащиеся самостоятельно записывают решение и проверяют его по слайду 15

3 и 4 задачи решают два ученика у доски

3 . Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 10 до 19 делится на три?

4 . В мешочке 5 карточек. На каждой карточке написана одна из букв О, П, Р, С, Т. Найти вероятность того, что на вытянутых по одной и разложенных в линию карточках можно будет прочесть слово “СПОРТ”?

5. Первичный контроль ЗУН

Затем учащиеся решают задачи по вариантам

1. Маша, Лена, Маша, Таня и Коля бросили жребий – кому идти в магазин. Найдите вероятность того, что в магазин надо будет идти Тане.

2. Перед началом первого тура чемпионата по шахматам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 76 шахматистов, среди которых 4 участника из России, в том числе Александр Русов. Найдите вероятность того, что в первом туре Александр Русов будет играть с каким-либо шахматистом из России?

1. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится 8 сумок со скрытыми дефектами. Найдите

вероятность того, что купленная сумка окажется качественной

2. В сборнике билетов по биологии всего 55 билетов, в 11 из них встречается вопрос по ботанике. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по ботанике.

Учащиеся сдают работы на проверку учителю.

Ребята, а сейчас оцените свою работу и общее впечатление от занятия тезисом или афоризмом.

1. Подведение итога. Выставление оценок.

Источник: nsportal.ru

Как теория вероятности пришла в школьную программу и к чему это привело

Нашла на просторах интернета картинку в сопровождении комментариев про “правильные” и “неправильные” вероятности.

Теория вероятности стала жертвой образовательной реформы. В какой-то момент озадачились применением школьных знаний на практики. В экзаменах появился блок “Реальной математики”. А в школьных программах раздел посвященный нахождению вероятностей.

Всё произошло сумбурно. И не совсем гладко, на мой взгляд. Из огромного раздела математики попытались выбрать знания, которые можно объяснить школьникам. Но не слишком много. Программа же не резиновая.

Где-то резали по живому. В результате получили “нечто”.

Дети узнали, что вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов. Почему? Непонятно. Формула есть и ладненько.

А потом началось. Какова вероятность встретить динозавра на улице? 50% либо встречу, либо нет. Число благоприятных исходов к общему числу исходов. Логично же.

Со временем “нечто” всё-таки привели в порядок. Добавили комбинаторики, условные вероятности и вспомнили фундаментальные вещи. Вероятность основана на статистике. При неограниченном возрастании числа испытаний, частота появления некоторого события будет стремиться к вероятности этого события.

Вот она реальная математика. Если за 20 лет(~7300 дней) жизни было 0 дней, в которые вы встретили динозавра, то вероятность, что эта встреча произойдет сегодня равна нулю.

Почему вероятность выпадения орла равна 0,5? Потому что если сделать 10 000 подбрасываний, посчитать количество появившихся орлов в сериях по 1000, то частота появления орлов будет в окрестности 0,5.

Могучие внешние силы держат весы в равновесии? Результат каждого броска зависит от множества факторов: высота, сила, движение воздуха и т.д. При большом количестве бросков влияние каждого фактора уравновешивается.

И это то, что действительно применяется на практике. Научное исследование проводится на большой выборке. Чтобы нивелировать индивидуальные различия.

• Мой знакомый не учил в школе математику и нормально в жизни устроился. Так что и я не буду.

А если взять 1000 человек, а лучше 10 000. Какие тогда будут результаты?

По поводу вопроса с картинки. Попытки найти источник привели меня сюда .

Статья посвящена тестам, как таковым. Так что возможно задача продумана не до конца и правильного ответа в списке нет.

Но если изменить формулировку задачи:

Какова вероятность выбрать правильный ответ из четырех вариантов, если два из них одинаковые?

Тогда её можно решить, например так:

Источник: dzen.ru

1. Классическое определение вероятности

Если при проведении испытаний наступает исход, благоприятный событию (A), то этот исход назовём благоприятным событию (A).

Дадим классическое определение вероятности.

Вероятность события (A) — отношение количества благоприятных событию (A) исходов к общему количеству всех равновозможных исходов.

P ( A ) = m n , где
(m) — количество исходов испытания, в которых наступает событие (A),
(n) — количество всех равновозможных исходов.
Бросают игральный кубик. Какова вероятность, что выпадет (3) очка?

Решение. Количество элементарных исходов (n=6). Событие (A) — выпадение трёх очков. Число случаев, благоприятных событию (A) равно (m=1). Получаем:

P ( A ) = m n = 1 6 .

Существует связь между терминами теории вероятностей и теории множеств. Соответствия заключаются в следующем:

• испытание с N исходами — множество из N элементов;
• отдельный исход испытания — элемент множества;
• случайное событие — подмножество;
• невозможное событие — пустое множество;
• достоверное событие — подмножество, которое совпадает со всем множеством;
• вероятность события — доля (часть) элементов подмножества среди всех элементов множества.

Случайные события называются не совместными в данном испытании, если никакие два из них не могут появиться вместе.

Теорема

Если события (A) и (B) не совместны, то вероятность того, что наступит или (A), или (B), равна (P(A) + P(B)).

Теорема

Для нахождения вероятности противоположного события следует из единицы вычесть вероятность самого события: (P(B) = 1-P(A)).

Но встречаются испытания и с бесконечным множеством исходов. К ним классическая вероятностная схема уже неприменима. В таком случае применяют правило нахождения геометрической вероятности .

Пусть фигура (X) является частью фигуры (Y). Тогда вероятность того, что случайно выбранная из фигуры (Y) точка будет принадлежать фигуре (X), равна P = S ( X ) S ( Y ) , где (S(X)) — площадь фигуры (X), (S(Y)) — площадь фигуры (Y).

Аналогично поступают с множествами на числовой прямой (тогда площади заменяем на длину числовых множеств) и с пространственными телами (тогда площади заменяем на объёмы пространственных тел).

в прямоугольник (5×4) cm 2 помещён круг радиуса (1,5) (cm). В прямоугольник случайным образом поставили одну точку. Какова вероятность того, что эта точка будет находиться внутри круга?

Решение: по определению геометрической вероятности искомая вероятность равна отношению площади круга (в который точка должна попасть) к площади прямоугольника (в которой точка ставится), т. е. P = S круга S прямоугольника = π ⋅ 1,5 2 5 ⋅ 4 = 0,353 .

Рис. 1. Прямоугольник и круг

Источник: www.yaklass.ru